“coja usted un cesto con 0 manzanas y multiplíquelas 0 veces por las mismas 0 manzanas y me cuenta luego si le aparece 1” —> Quisiera saber primero cómo multiplicarlas 0 veces por 0 manzanas.

Tengo un razonamiento para 0^0 = 1 que puede que sí veas lógico. Recuerda que el factor que equivale a no haber operado por nada en una multiplicación, es decir, el elemento neutro, es el 1, a diferencia de la suma cuyo elemento neutro es el 0.

Veamos primero una multiplicación con otras potencias.

– Si tenemos 5 * 4^3, esto equivale a 5 * 4 * 4 * 4, es decir, que aparece el 5 y luego el 4 tres veces.
– Si tenemos 5 * 4^2, eso es igual a 5 * 4 * 4, o sea que tenemos tres factores: el 5 y dos 4’s.
etc.

Entonces, en general, si tenemos 5*4^n, donde n es un entero, eso debe ser igual a un 5 multiplicado por una cantidad n de 4’s.

Ahora bien, ¿cuánto es 5 * 4^0? Siguiendo el razonamiento anterior, deberíamos tener un 5 y cero veces el 4, lo que es lo mismo que tener al 5 solamente. Así que 5 * 4^0 debe ser igual a 5, de lo que se deduce que 4^0 es igual a 1.

Ahora sustituyamos el 4 por un 0.

– Si tenemos 5 * 0^3, esto debe ser igual a la multiplicación de un cinco y tres ceros –> 5*0*0*0, lo que da resultado cero porque el cero es el elemento absorbente de la multiplicación.
– Si tenemos 5* 0^2, aparece un cinco y dos ceros —> 5*0*0 = 0

Pero si tenemos 5* 0^0, el exponente cero está diciendo que el factor cero no aparece ninguna vez, por lo que el 5 se queda solito. Así que no hay motivo para pensar que el resultado debe ser cero, porque en ningún momento actuó el elemento absorbente. Tenemos que 5 * 0^0 = 5, lo que significa que multiplicar por 0^0 es lo mismo que multiplicar por uno.

==> 0^0 = 1

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Ahora debo aclarar que aquí no acaba la discusión. Cuando yo vi esta explicación por primera vez me pareció que era completamente lógica y que no habría motivo para pensar otra cosa distinta a que 0^0 = 1. Pero no todas las calculadoras arrojan este resultado. Algunas ponen “indefinido”, como es el caso de WolframAlpha, y ahora voy a explicar el motivo.

La axiomática para construir los números no es única. Hay muchas formas de definirlos, pero lo importante es que en ninguna (o al menos de las que he visto) los naturales son lo mismos enteros no negativos, ni tampoco los enteros son un subconjunto de los racionales, ni éstos de los reales. Son estructuras totalmente diferentes. Es decir, el 0 natural no es el mismo 0 entero, ni el mismo 0 racional, ni el mismo 0 real. Lo que sí pasa es que, por ejemplo, los enteros no negativos tienen un comportamiento isomorfo al de los naturales.

Para ilustrar, una de las construcciones que utiliza la teoría de conjuntos es:

0 = { } –> El conjunto que tiene cero elementos (conjunto vacío)
1 = { 0 } = { { } } –> El conjunto que tiene un solo elemento: el cero, que es el conjunto vacío.
2 = { 0, 1 } —> El conjunto que tiene dos elementos, el cero y el uno.
En general, el natural n es el conjunto que tiene a todos los naturales desde el cero hasta el n-1

Pero los enteros son clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales.

0 = [ (n, n) ] —> El 0 entero está representado por cualquier par ordenado en donde las dos coordenadas coincidan y sean números naturales.

1 = [ (n+1,n) ] –> El 1 está representado por cualquier par ordenado en donde la primera coordenada supere en 1 a la segunda coordenada, y n sea natural.

-1 = [ (n,n+1) ] –> El 1 está representado por cualquier par ordenado en donde la segunda coordenada supere en 1 a la primera coordenada, y n sea natural.

etc.

De manera que cuando tenemos que definir las operaciones de suma, multiplicación, potenciación, etc., tenemos que hacerlas en base a las operaciones de conjuntos, y al ser los enteros distintos a los naturales, las maneras de definir sus operaciones respectivas también serán distintas. La suma de enteros no puede definirse igual que la suma de naturales.

Entonces, lo que quiero decir acá es que ese razonamiento de 0^0 = 1 fue válido para los enteros, porque en ellos la potenciación a^b significa que el factor “a” se multiplica consigo mismo una cantidad “b” de veces. Pero si queremos tener una definición única de potenciación en los reales (que no tienen nada que ver con los enteros), ¿cómo aplicaríamos el mismo razonamiento? ¿Cuál es el significado de 4^pi? ¿Cómo haces para que el 4 aparezca una cantidad 3,14159… de veces?

No se puede. La potenciación en los enteros se construye como la operación inversa de los logaritmos, que son calculables mediante integrales, que a su vez son un límite. De manera que la potenciación de reales es en el fondo un límite, y 0^0 definido como límite no existe. Si tienes dos funciones f y g, y las elevas: f^g, cuando f tiende a cero y g tiende a cero no hay un valor único para ese límite, depende de la función tomada, por lo que no existe.

El autor del blog hizo un caso particular. En primer lugar, esa demostración es errónea, como ya lo demostraron previamente en otros comentarios, y además no es la única manera posible de aproximarse a 0^0. Así que esta expresión no estaría definido en los reales. En los enteros sí, pero es algo completamente distinta. Son otras estructuras que también se llaman cero y el operador también se llama “elevar”, pero no son iguales.